Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Carl Sagan

 

Milliárdok

és

milliárdok

 

A mennyiségek ereje
és szépsége

 

 

Milliárdok és milliárdok

 

Vannak egyesek... akik úgy vélik, hogy a homok (szemcséinek) száma végtelen... Vannak egyesek, akik bár nem tartják végtelennek, oly számosnak vélik, hogy akkora számnak még senki sem adott nevet... Én azonban megpróbálok olyan nagy számokat mutatni, amelyek nemcsak a Földével azonos mennyiségű homok szemcséinek számát múlják felül,... hanem az egész Világegyetem tömegével azo­nos homokét is.

Arkhimédész

(kb. Kr e. 287-­212)

A homokszámláló

Sohasem mondtam. A becsületszavamra. Nos annyit mondtam, talán 100 milliárd galaxis és 10 milliárd billió csillag létezhet. Nehéz a nagy számok emlegetése nélkül beszélni a Kozmoszról. Sokszor emlegettem a milliárdot a Kozmosz című televíziós so­rozatban is, amelyet rengeteg ember látott. Sohasem mondtam azonban így ki: „milliárdok és milliárdok”. Egyrészt ez így kissé pongyolán hangzik. Hány milliárd lehet a „milliárdok és milliár­dok”? Néhány milliárd? Húszmilliárd? Százmilliárd? A „milliár­dok és milliárdok” meglehetősen határozatlan kifejezés. Amikor átdolgoztuk és felújítottuk a sorozatot, akkor ellenőriztem, így most meglehetősen biztos vagyok benne, hogy sohasem mond­tam.

Johnny Carson - akinek Tonight Show (Ma esti show) című műsorában az évek során csaknem harmincszor szerepeltem - viszont kimondta. Kordbársony zakót és garbót vett fel egy zilált frizurájú parókához. Megpróbált rám hasonlítani, valamiféle ha­sonmásomat alakítani, amikor a késő esti tévéműsorban elhang­zott a szájából a „milliárdok és milliárdok”. Általában zavarni szokott, ha a személyemet utánozzák, miközben a saját zagyva szö­vegüket mondják, amit azután másnap a kollégák és az ismerő­sölt az én szememre vetnek. (A jelmez ellenére Carson - aki egyéb­ként komoly amatőr csillagász - gyakran beszélt a hasonmásom­ként komoly tudományos kérdésekről.)

Meglepő módon a „milliárdok és milliárdok” rám ragadt. Az emberek megszerették a hangzását. Még mostanság is gyakran megállítanak az utcán, repülőgépen vagy társaságban, és bátorta­lanul arra kérnek, ugyan mondjam már ki - csak az ő kedvükért -, hogy „milliárdok és milliárdok”.

„Tudják, hogy ezt én valójában sohasem mondtam”, magyará­zom ilyenkor.

„Nem baj”, válaszolják. „Azért csak mondja!”

Sokszor hozzáteszik, hogy Sherlock Holmes sem mondta soha, hogy „Alapvető, kedves Watsonom” (legalábbis Arthur Conan Doyle könyveiben nem); Jimmy Cagney sohasem mondta, hogy „Te mocskos patkány”; Humphrey Bogart pedig sohasem mond­ta, hogy „Játszd újra, Sam!”. De mondhatták volna, mert ezek a kifejezések szilárdan beivódtak a köztudatba.

Gyakran idézik ezt az általam soha ki nem mondott együgyű kifejezést a számítógépes magazinokban („Carl Sagan szavaival élve ehhez byte-ok milliárdjaira és milliárdjaira van szükség”), az újságolt közgazdasági bevezető cikkeiben, a profi sportolók jö­vedelmének tárgyalásakor és sok hasonló összefüggésben.

Egy ideig valamilyen gyerekes sértődöttség miatt ki nem ejtet­tem volna a számon és le nem írtam volna ezt a kifejezést, még akkor sem, amikor erre kértek. De később túltettem magam az egészen. Most tehát álljon itt az utókor kedvéért, feketén-fehéren:

„Milliárdok és milliárdok.”

Mitől lehet ilyen népszerű a „milliárdok és milliárdok” kifeje­zés? Sokáig a „millió” volt a köznyelvben a nagy számok érzékel­tetésének a kulcsszava. Az elképzelhetetlenül gazdag embert mil­liomosnak nevezték. A Föld népessége Jézus Krisztus korában ta­lán 250 millió lehetett. Az 1787-es Alkotmányozó Nemzetgyűlés csaknem 4 millió amerikai nevében ült össze, míg a második vi­lágháború kezdetén az Egyesült Államok lakossága 132 millió volt. A Nap és a Föld közepes távolsága 150 millió kilométer. Az első világháborúban mintegy 40 millió ember vesztette életét, a másodikban 60 millió. Egy esztendő 31,7 millió másodpercből áll (amint annak könnyű utánaszámolni). Az egész világon az 1980-as évek végéig felhalmozott nukleáris fegyverek robbanóereje 1 millió Hirosima elpusztításához elegendő. Hosszú időn keresztül szá­mos különböző célra a „millió” volt a nagy szám lényegének a kifejezője.

Az idők azonban változnak. Ma már sok milliárdos él közöttünk - és ez nem csak az inflációnak köszönhető. Pontosan ismerjük a Föld korát, ami 4,6 milliárd év Az emberiség lélekszáma 6 milli­árd körül jár. Két születésnapunk között a Föld egymilliárd kilomé­tert tesz meg Nap körüli pályáján (a Föld sokkal gyorsabban szá­guld a Nap körül, mint amilyen tempóban a Voyager űrszondák távolodnak tőlünk). Négy B-2-es bombázó ára egymilliárd dollár (bár egyesek szerint 2 vagy akár 4 milliárd is lehet). Az Egyesült Államok védelmi kiadásai, ha a titkos és a költségvetés más helye­in elrejtett tételeket is figyelembe vesszük, meghaladják az évi 300 milliárd dollárt. A becslések szerint az Egyesült Államok és Orosz­ország között kirobbanó, széles körű nukleáris háborúnak az első csapások során egymilliárd áldozata lenne. Egy tenyérnyi négyzet minden oldala mentén egymilliárd atom helyezkedik el. A minden­séget galaxisok és csillagok milliárdjai alkotják.

Amikor 1980-ban először mutatták be a Kozmosz című tévéso­rozatot, az emberek már készen álltak a milliárd fogalmának be­fogadására. Az egyszerű millió már kissé elértéktelenedett, divat­jamúlttá és szegényessé vált. Ráadásul a két szó hangzása kissé hasonló is, néha hajlamosak vagyunk össze is keverni. Ezért a Kozmoszban tudatosan, a megszokottnál hangsúlyosabban ejtet­tem ki a milliárd szót1, amit talán néhány néző egyéni akcentus­nap, esetleg beszédhibának vélt. A másik végletet azok a tévékri­tikusok képviselték, akik szerint a hangsúlyosan ejtett milliárd nehézkesnek, mesterkéltnek tűnt.

Erről eszembe jut egy régi anekdota egy planetáriumi előadó­ról, aki elmondta a hallgatóságnak, hogy 5 milliárd év múlva a Nap felfúvódik és vörös óriássá alapul, elnyeli a Merkúrt és a Vé-

 

1 Az amerikai szóhasználat szerint, mint később látni fogjuk, a mi milliárdunk­nak a „billion” szó felel meg, ennek megfelelően itt hangsúlyosan és öblösen, zárhangként ejtett „b” hangról van szó - a fordító megjegyzése.

 

nuszt, sőt talán még a Földet is felfalja. Az előadás után a hallga­tóság soraiból egy izgatott ember fordult hozzá.

„Bocsánat, uram, ugye Ön azt mondta, hogy a Nap 5 milliárd év múlva fogja felégetni a Földet?”

„Igen, nagyjából akkor.”

„Hála istennek! Egy pillanatra azt hittem, hogy 5 milliót mon­dott.”

Nos, 5 millió vagy 5 milliárd év, a saját személyes életünk szem­pontjából egyre megy, a különbségnek csak a Föld mint égitest sorsát illetően van jelentősége. A millió és a milliárd közötti kü­lönbségtétel más esetekben viszont létfontosságú, például akkor, ha a nemzeti költségvetésről, a világ népességéről vagy a nukleá­ris háború áldozatairól beszélünk.

Bár a „milliárdok és milliárdok” népszerűsége még nem halvá­nyodott el teljesen, már ezek a számok is kezdenek bizonyos érte­lemben kisszerűvé, rövidlátóvá és túlhaladottá válni. Sokkal di­vatosabb szám kezd feltűnni a látóhatáron vagy legalábbis annak közelében. Nemsokára beköszönt a billió kora.

A világ katonai kiadásai jelenleg megközelítik az évi 1 billió dollárt. A fejlődő országok a nyugati világ bankjainak összesen 2 billió dollárral tartoznak (szemben az 1970-es 60 milliárddal). Az Egyesült Államok kormányának éves költségvetése megközelí­ti a 2 billió dollárt. Országunk adóssága 5 billió dollár körül van. A Reagan-korszakban felvetett, de műszakilag kétséges csillaghá­borús tervek becsült összköltsége 1 és 2 billió dollár között volt. A Föld összes növényének együttes tömege 1 billió tonna. A billió magától értetődően kapcsolódik a csillagok világához is. A Nap­rendszer és a hozzánk legközelebbi csillag, az Alfa Centauri tá­volsága mintegy 40 billió kilométer.

A millió, a milliárd és a billió közötti keveredés járványszerűen terjed a mindennapi életben, szinte alig akad olyan hét, hogy va­lamelyik tévéműsorban ne tévesztené össze valaki ezeket a nagy számokat (elsősorban a milliót és a milliárdot)2. Ezért talán megbo­csátják, ha egy pillanatig elidőzöm ezeknél a fogalmaknál.

 

2 Hazánkban inkább a milliárd és a billió összetévesztése a gyakori, elsősorban azért, mert az amerikai billiont gyakran - figyelmetlenségből vagy tájékozat­lanságból - billióként fordítják magyarra - a fordító megjegyzése.



A mil­llió ezerszer ezerrel egyenlő, vagyis az egyes után hat darab nulla következik. A milliárd ezerszer millió, tehát az egyes után kilenc darab nullát kell írni. Végül, a billió ezerszer milliárd (vagy milli­ószor millió), ahol az egyest tizenkét nulla követi.

Ez legalábbis az európai szóhasználat. Amerikában kicsit más a rendszer, ott az európai milliárdot billiónak, az európai billiót tril­liónak nevezik és így tovább. A milliárd fogalmával a magam ré­széről először gyerekkoromban, bélyeggyűjtőként találkoztam. Birtokomba került egy 1923-as postatiszta német bélyeg, „50 mil­liárd” felirattal. Németországban akkoriban érte el a tetőpontját az infláció, egyetlen levél feladása 50 milliárd márkába került. (Ez volt az a korszak, amikor az emberek talicskával vitték magukkal a pénzüket, ha a péknél vagy a fűszeresnél be akartak vásárolni.) Minthogy azonban napjainkban az egész világ az Egyesült Államok befolyása alatt áll, ezek az alternatív fogalmak visszaszorulóban vannak, a „milliárd” immár csaknem teljesen eltűnőfélben van.3

A nagy számok meghatározásának egyértelmű módja, ha meg­számoljuk, hány nulla áll az egyes mögött. Ha túlságosan sok a nulla, akkor azonban ez is kissé unalmas, és magában rejti a téve­dés veszélyét. Ezért a nullákat hármas csoportokba rendezve szok­tuk leírni, a csoportok között pedig térközöket (betűközöket) ha­gyunk. Eszerint tehát a billiót a következőképpen írhatjuk: 1 000 000 000 000. (A betűközök helyett egyes országokban pon­tokat vagy vesszőket szokás tenni.4) A billiónál nagyobb számok esetében is egyszerűen csak meg kell számolni, hány hármas cso­port nullát tartalmaz a szám. Sokkal egyszerűbb lenne azonban, ha nem kellene mindig számolgatni, sem egyesével, sem hárma­sával, hanem a számot azzal jellemeznénk, hány nullát tartalmaz az egyes után.

 

 

3 Ilyennek látszik a világ, Amerikából nézve. Mi azért nyugodtan ragaszkodjunk a jól bevált milliárdhoz. Ebben a könyvben a magyar nyelv és szóhasználat sza­bályainak megfelelően természetesen a billiont mindvégig milliárdnak for­dítottam - a fordító megjegyzése.

4 Ez további zűrzavar forrása, nem beszélve a tizedesvesszővel, illetve egyes országokban a tizedesponttal való összetévesztés lehetőségéről - a fordító meg­jegyzése.

 



A természettudósok és a matematikusok, gyakorlatias észjárá­suknak köszönhetően, pontosan így járnak el. Ezt a jelölésmódot a számok normálalakjának, exponenciális vagy hatványkitevős írásmódjának nevezzük. Leírjuk a 10-es számot, azután tőle jobb­ra, kicsit feljebb, az úgynevezett felső indexbe odaírjuk mellé, hány nulla csatlakozna az egyeshez, ha hagyományos formában írnánk le a számot. Eszerint 106=1 000 000; 109=1 000 000 000; 1012=1 000 000 000 000 és így tovább. Ezeket a kis felső indexe­ket hatványkitevőnek, vagy egyszerűen kitevőnek nevezzük, a 109 kiejtése tíz a kilencediken, a 1012-é tíz a tizenkettediken és így tovább. (Kivételt képez a 102 és a 103 , ahol a tíz a másodikon, illetve a tíz a harmadikon forma mellett a tíz a négyzeten, illetve a tíz a köbön alak is helyes és elterjedt.) A hatványkitevő értéke egyúttal a szám nagyságrendjét is jelzi. Ez a szó azonban - más matematikai és természettudományos kifejezésekhez, például a paraméterhez hasonlóan - lassanként kezd beszivárogni a köz­nyelvbe, bár kissé elmosódó és torzuló jelentéssel.

A teljesség kedvéért megemlítjük, hogy a számok hatványkite­vős írásmódja még egy fantasztikus előnyt rejt. Két normálalak­ban leírt nagy számot nagyon egyszerűen összeszorozhatunk, ehhez elegendő a hatványkitevőiket összeadni. Eszerint 1000 ∙ 1 000 000 000 a következőképpen írható és számítható ki: 103 ∙ 109=1012. Lássunk egy gyakorlati példát a sokkal nagyobb szá­mok világából is: ha egy átlagos galaxis 1011 csillagot tartalmaz és a Világegyetemben 1011 galaxis található, akkor a Kozmoszt 1022 csillag alkotja.

A matematikával hadilábon álló emberek közül sokan idegen­kednek a számok hatványkitevős alakjától (jóllehet ez egyáltalán nem teszi bonyolultabbá a nagy számok fogalmának megértését, sőt inkább egyszerűsíti azt). Hasonló ellenérzést tapasztalhatunk például a szedők esetében, akik nagy előszeretettel írnak 109-et a 109 helyett (bár az Akkord Kiadó szedői dicséretes kivételt képez­nek, mint a fentebbi bekezdések tanúsítják).

Néhány önálló névvel illetett nagy számot a 13. oldalon talál­ható táblázat tartalmaz. Ezek között általában ezerszeres vagy milliószoros a különbség. A billiónál nagyobb számoknak ezt az elnevezését szinte soha nem használjuk. Ha másodpercenként egyet számlálnánk, akkor több mint egy hétbe telne, mire egytől 

egymillióig elszámolnánk. Fél életünk beletelne, mire egymilliárdig eljutnánk. Ha viszont egytrillióig szeretnénk ugyanilyen se­bességgel, egyesével elszámolni, ahhoz a Világegyetem eddig el­telt élete sem lenne elegendő.

Ha már némi jártasságra tettünk szert az exponenciális számok világában és megbarátkoztunk a nagy számokkal, akkor könnyen kifejezhetjük, nagyjából hány mikroba él egy teáskanálnyi talaj­ban (108), hány homokszem található a Föld összes tengerparti strandján együttvéve (mintegy 1020), hány darab élőlény él a Föl­dön (1029), hány atom alkotja a Föld összes élőlényét (1041), vagy éppen hány atommag található a Napban (1057), hány elemi ré­szecske (elektron, proton és neutron) építi fel a Világegyetemet (1080). Ez nem jelenti azt, hogy el is tudunk képzelni valamiből egymilliárd vagy egytrillió darabot - erre senki sem képes. A hat­ványkitevős írásmóddal viszont legalább kezelni tudjuk ezeket a nagy számokat, valamint számolni tudunk velük. Meglehetősen szép eredmény olyan autodidakta lényektől, akiknek a kezdet kezdetén még semmijük sem volt, és társaikat is csak az ujjaik segítségül hívásával tudták megszámolni.

A számok hatványkitevős írásmódját szavakkal is ki tudjuk fejez­ni. Ehhez a mértékegységek nevéhez illeszthető ún. prefixumokat (előtagokat) használjuk. Eszerint például az elektron átmérője 1 femtométer (10-15 m), a sárga fény hullámhossza fél mikrométer (0,5 mm), szabad szemmel a tizedmilliméteres (10-4 m) rovarokat még észre tudjuk venni, a Föld átmérője 6300 kilométer (6,3 Mm), egy hegy tömege 100 petagramm (1017 g). A prefixumok teljes lis­táját a 15. oldalon található táblázat tartalmazza.

A valóban nagy számok nélkül elképzelhetetlen a modern tu­domány. Tévedés lenne azonban azt gondolni, hogy ezek a szá­mok a modern kor szülöttei.

Az indiai aritmetika már ősidők óta használja a nagy számo­kat. Egyes indiai újságokban napjainkban is találkozhatunk a lakh rúpia vagy a crore rúpia megjelölésekkel. A lakh és a crore mel­lett az indiai számírás a nagy számok megjelölésére számos más előtagot használ. Ezek jelentése a következő: das=10; san=100; hazar=1000; lakh=105; crore=107; arahb=109; carahb=1011; nie=1013; padham=1015 és sankh=1017. Mielőtt az európaiak meg­semmisítették volna a maja civilizációt, Mexikó őslakosai olyan időskálát dolgoztak ki, amelyhez képest eltörpült az a néhány ezer

 

 

atto­

a

10-18

femto­

f

10-15

piko­

p

10-12

nano­

n

10-9

mikro­

m

10-6

milli­

m

10-3

centi­

c

10-2

deci­

d

10-1

deka­

dk

101

hekto­

h

102

kilo­

k

103

mega­

m

106

giga­

G

109

tera­

T

1012

peta­

P

1015

exa­

E

1018

 

 

év, amit akkoriban az európaiak a világ teremtése óta eltelt időnek hittek. A Quintana Roo-beli Coba környékén található, pusztuló szobrok feliratának tanúsága szerint a maják 1029 éves­nek tartották a Világegyetemet. A hinduk úgy gondolták, hogy a világ jelenlegi reinkarnációja 8,6 · 109 éves, ami csaknem telitalá­lat. A Kr. e. III. században élt szicíliai görög matematikus, Arkhi­médész A homokszámláló című munkájában úgy vélekedett, hogy a Kozmoszt 1063 homokszem alkotja. Amikor tehát igazán nagy dolgokról-volt szó, a milliárdok és milliárdok már akkor sem so­kat számítottak.